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f(x)はxに関するn次の整式(多項式)とする(n≧0)． (1)2変数x,yの整式として と書き表す．ただし (i=0,1,2,…,n)はxに関する整式である．このとき ，， かつ=「f(x)におけるの係数」 であることを示せ． (2)ある定数cがあって， f(x+y)-f(x)=yf (x+cy) が成立すればf(x)の次数は2以下であることを示せ． (1) f(x+y)にy=0を代入して． f(x+y)をyで微分して． y=0を代入して． f(x+y)をyで2回微分して． y=0を代入して． つまり，，，． また，f(x+y)にx=0を代入してなので， =「f(x)におけるの係数」 (2) となることを示せばよい． f(x+y)-f(x)=yf (x+cy)の両辺をyで二回微分して． y=0を代入してなので，のときが成り立つ． のとき，であり， f(x+y)-f(x)=yf (x+cy)の両辺をyで三回微分して y=0を代入してであるがより． よって示された．
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A,B,C,Eは2行2列の行列で,とする． (1)AB=BAならばB=pA+qEとなる実数p,qが存在することを示せ． (2)AB=BA,AC=CAが成り立つならば，BC=CBが成り立つことを示せ． (3)AB=BA,を満たす行列Bをすべて求めよ． (1) とおく． であり，これが零行列に等しいのでc=2b,a-b=dとなるから，B=bA+dEとなるので示された． (2) (1)よりB=pA+qE，C=rA+sEとなる実数p,q,r,sが存在するので． (3) (1)よりB=pA+qEとおける．であり，ケーリーハミルトンの定理よりだから ． これよりなので(p,q)=(0,±1),． つまり，求めるBはB=±E,．
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自然数nに対し，をで表す． たとえば=1,=11,=111である． (1) mを0以上の整数とする．はで割り切れるが，では割り切れないことを示せ． (2) nが27で割り切れることが，が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ． (1) (mod 9)なので， がで割り切れる⇔がで割り切れる． ここではで割り切れるがでは割り切れないので示された． (2) (mod 9)なので， が9で割り切れる⇔nが9で割り切れる． よって が27で割り切れる ⇔nが9で割り切れ，かつが9で割り切れる ⇔nが9で割り切れ，かつが9で割り切れる ⇔nが27で割り切れる． よって示された．
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0でないxの整式f(x)に対し，とおく．ある定数p,qが存在して，が成立しているとする． (1)とおくとき，F(x)をaを用いて表せ． (2)さらに0≦x≦1でのF(x)の最大値がであるとき，f(x)を求めよ． (1) F(x)=a-G(x)を代入して． ここで，f(x)≠0より，G(x)は相異なる無数の値をとりうる． 特に，F(x)がn次式だとすると，が相異なるような(i=0,1,…,n)が存在するから， となる． (2) ．q-a^2=F(0)=0． (i)のとき 0≦x≦1でf(x) 0よりF(x)はx=0で最大となるがF(0)=0より不適． (ii)のとき f (x)=-2 0であり，よりF(x)の最大値は． これがに等しいので．より．このとき． (iii)のとき 0≦x≦1でf(x) 0よりF(x)はx=1で最大となるが，F(1)=p+2a-1がと等しいので． このときより不適．
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座標空間に3点P,Q,Rがあって毎秒1の速さで，それぞれ 点Pは原点(0,0,0)を出発してx軸上を正の方向へ， 点Qは点(2,0,0)を出発してy軸と平行に正の方向へ， 点Rは点(2,2,0)を出発してz軸と平行に正の方向へ 進む．このとき三角形PQRの面積Sが最小となるのは何秒後か． 点P,Q,Rが出発してからt秒経過したとする．P(t,0,0),Q(2,t+2,0),R(2,2,t+2)． 点(2,2,0)をAとおく．四面体APQRの体積Vは，三角形AQRを底面とみなすと． また，PQRを含む平面を平面αとおき，αとAの距離をdとおく． PQと平面y=2の交点をNとおき，点(2,0,0)をBとおくと，△QNA∽△QPBよりNは． P,Q,Nを含むので，αの式はであるから， α上の点(x,y,z)について なので，の最小値つまりはとなる． ここで，であるから， とおくとである． を解くととなることより， 0≦tにおけるf(t)の最小を与えるtの値は． このときSも最小となるので求める時刻は秒後．
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を求めよ． 与式 .
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実数を成分にもつ行列と実数r,s が下の条件(i),(ii),(iii)をみたすとする． (i) s 1 (ii) (iii) (n=1,2,…)とするとき， このとき以下の問に答えよ． (1)をa,c,r,sを用いて表せ． (2) (n=1,2,…)とするとき，を示せ． (3) c=0かつ|a| 1を示せ． (1) (2) () (3) 両辺に左からをかけて これより()であり，s 1なのでc=0． また，このときなのでであるが， より|a| 1．
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xとyの2文字からなる文字列を次の規則(イ)，(ロ)で順次定めていく． (イ) とおく． (ロ) の中に現れるすべてのxをyxで，すべてのyをxxで置き換えてできる文字列をとする(n=1,2,3…)． 例えば，,,である．2次の正方行列A,Bに対して，の中のxをAで，yをBで置き換え，行列の積を作ってできる行列をとする．例えば(行列の積)である． ，のとき，n≧3ならばであることを示せ． ここで，， ， ． はの中に現れる全てのxをxxyxで，全てのyをyxyxで置き換えてできる文字列である． 従ってはの中に現れる全てのxをで，全てのyをで置き換えて行列の積を作ったものに等しい． 置き換える操作によりxの個数の偶奇は不変なのでの中にはxは奇数個しか出現しない． これよりkを適当な奇数としてなので示された．
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実数a,bに対し次の不等式の成り立つことを示せ． 関数f(x)とd≧0に対し，を考える． d=0のときg(x)=0．以下，d 0であるとする． 平均値の定理より，2g(x)=(f(x+d)-f(x))-(f(x)-f(x-d))=df (y)-df (z)=d(y-z)f (w)とx-d z x y x+d，z w yを満たすy,z,wが存在する． 従って，x-d k x+dで常にf"(k) 0ならばg(x) 0，同じ区間で常にf"(k) 0ならばg(x) 0となる． さて，とおくと， であるから， a,b=x±dとおくと，が言える． また，とおくと，，であるから a,b=x±dとおくと，であり， 両辺のexpをとるとが言える． これらの等号成立はd=0つまりa=bのとき．
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xy平面上で,(1,1)を中心とする半径1の円をCとする．P,Qはそれぞれx軸，y軸の正の部分にある点で，線分PQが円Cに接しているとする．正三角形PQRを第一象限内に描くとき，頂点Rの座標(a,b)について，a,bの間に成り立つ関係式を求めよ． P(p,0),Q(0,q)とおくと，PQの式はであり， これが円Cに接する，つまりこの線分と(1,1)の距離が1なので 平方して整理すると(p-2)(q-2)=2…(*)． さて，PQの中点をMとおくと，Mであり，． ここで，はに垂直であり，であるから， (複号同順)である． これより，R(a,b)はであるがこれは第一象限にあるので複号は正． p,qについて解くとであり，これを(*)に代入して が求める関係式．